3전압계법 - 단상 전력을 측정하는 법

개요

직류(DC) 회로에서 전력을 구하려면 부하전압(부하에 인가되는 전압)과 부하전류(부하에 흐르는 전류)의 곱으로 계산할 수 있지만 교류(AC) 회로에서 부하전압과 부하전류간 위상차가 존재하기 때문에 전원측에서 공급하는 전력과 실제 부하에서 소비되는 전력과 크기가 다르다. 교류 회로에서는 전원측에서 공급되는 전력을 피상전력($P_a$)이라고 하고 실제 부하에서 소비되는 전력을 유효전력($P$)이라고 한다. 피상전력으로부터 유효전력을 계산하기위해 역률($\cos{\theta}$)을 곱해주어야 한다.

$$ P = VI\cos{\theta} $$

역률은 부하전압과 부하전류의 위상차를 코사인 값으로 나타낸 것이다. 역률은 피상전력에 대한 유효전력의 비로 나타낼 수 있다.

$$ \cos{\theta} = \frac{P}{P_a} $$

앞서 설명한 바와 같이 유효전력을 측정 하기 위해서는 부하에 인가되는 전압, 전류 그리고 역률을 알아야 한다.
전압계 3개를 이용하여 유효전력을 측정하는 방법을 알아보자.

3 전압계법

아래와 같은 교류회로가 있다고 가정하자. 전원($V_{in}$) 과 부하($Z_L$) 사이에 하나의 직렬 저항과 3개의 전압계가 있다. $V_1$은 입력전압, $V_2$는 부하와 직렬로 연결된 저항 $R$에서의 전압강하, $V_3$는 부하에 인가되는 전압을 측정한다.

부하전압 ($V$)

부하에 인가되는 전압은 저항 다음단에서 부하와 병렬로 전압계를 연결하고 전압계의 지시값을 읽으면 된다. ( 전류를 측정하기 위해 부하와 전원 사이에 직렬 저항을 추가 하였기 때문에 공급전압과 부하전압 사이에서 $V_2$ 만큼의 전압차가 발생한다. )

저항기에서의 전압강하($I$)

전원측의 공급 전압을 측정 했으니 이제 부하에 흐르는 전류를 구해보자. 저항에 흐르는 전류를 구하기 위해서는 저항 의 크기와 저항에서 발생하는 전압 강하를 측정해야 한다. 저항의 크기와 저항에서의 전압 강하를 알면 다음 식을 통해 전류를 구할 수 있다.

$$ I = \frac{V_2}{R} $$

저항과 전압계를 병렬로 연결하고 전압계의 지시값($V_2$)을 읽는다.

저항은 부하와 직렬로 연결되어 있고 직렬로 회로에서는 전류가 일정 하기 때문에 저항에 흐르는 전류와 부하에 흐르는 전류는 같다.

공급전압

전원측에서 공급되는 전압($V_1$)을 측정해보자. 다음 그림과 같이 전압계 저항기 앞단에 전원과 병렬로 연결하고 전압계에 지시값을 읽으면 전원 측에서 공급되는 전압을 알수 있다.

역률 ($\cos{\theta}$)

이제 부하에 인가되 전압 $V_3$ 와 부하에 흐르는 전류 ($I$ = $\frac{V_2}{R})$를 알았으니 역률 $\cos{\theta}$를 알면 부하에서 소비되는 전력 $P$를 구할 수 있다. 앞서 측정한 공급전압($V_1$), 저항에서의 전압강하($V_2$), 부하전압($V_3$)을 가지고 역률을 구해보자.

$V_2$를 기준으로 페이저도를 그려보자.

• 대부분의 부하는 지상 부하이기 때문에 부하 $Z_L$를 지상 부하라고 가정한다.
• 부하에 인가되는 전압 $\hat{V_3}$ 는 저항에서 강하되는 전압 $\hat{V_2}$ 보다 지상이다. $\hat{V_2}$와 $\hat{V_3}$위상차를 $\phi$ 라고 하자.
• 직류회로에서 모든 전압의 합은 0 이므로 $\hat{V_1}$ 을 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \hat{V_1} = \hat{V_2} + \hat{V_3} $$

• 저항 $R$은 순저항 부하이기 때문에 $R$에 인가되는 전압 $\hat{V_2}$는 회로에 흐르는 전류($\hat{I}$)와 위상이 같다.

다음과 같은 페이저도를 그릴 수 있다.

페이저도를 통해 $\hat{V_3}$와 $\hat{I}$ 사이의 역률각 $\theta$는 다음과 $180 - \phi$ 임을 알 수 있다.

$$ \theta = 180 - \phi $$

우리가 알고 있는 정보로는 $\theta$ 를 직접 구할 수 없지만 $\phi$ 구한 후 위식에 대입하여 역률각 $\theta$를 알 수 있다.

$\phi$ 가 속해 있는 삼각형의 세 변의 길이를 알고 있으므로 코사인 법칙을 이용하여 $\phi$ 를 구해 보자.

코사인 법칙을 통해 삼각형에서 두 변의 길이와 그 사잇각으로 부터 제 3변의 길이 구하거나 삼각형 세변의 길이를 알고 있을 경우 세 각을 크기를 알 수 있다.

$$ V_1^2 = V_2^2 + V_3^2 - 2V_2V_3\cos{\phi} $$

$\cos{\phi}$ 에 대하여 식을 정리하면 다음과 같다.

$$ \cos{\phi} = -\frac{V_1^2 - V_2^2 - V_3^2 }{2V_2V_3} $$

코사인의 특성을 이용하면 $\cos{(180 - \phi)}= -\cos{\phi}$ 이고 $\theta = 180 - \phi$ 이므로 $\cos{(180 - \phi)}$ 를 $\cos{\theta}$ 로 치환한 뒤 $\cos{\phi}$에 대하여 정리하면 $\cos{\phi} = -\cos{\theta}$ 가 된다.

앞에서 구한 $\cos{\phi}$ 를 $-\cos{\theta}$로 치환한 뒤 $\cos{\theta}$에 대하여 정리 하면 역률을 $\cos{\theta}$ 를 다음과 같음을 알 수 있다.

$$ \cos{\theta} = \frac{V_1^2 - V_2^2 - V_3^2 }{2V_2V_3} $$

유효전력

앞에서 우리는 유효전력을 구하기 위한 필요한 3가지 값을 측정 또는 계산 하였다.

• 부하에 인가되는 전압
  $$ V_3 $$

• 부하에 흐르는 전류
  $$ \frac{V_2}{R} $$

• 역률
  $$ \frac{V_1^2 - V_2^2 - V_3^2 }{2V_2V_3} $$

이제 위의 세 값을 모두 곱한 곱하면 유효전력을 구할 수 있다.

$$ P = V_3 \times \frac{V_2}{R} \times \frac{V_1^2 - V_2^2 - V_3^2 }{2V_2V_3} $$

약분하여 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 이다.

$$ P = \frac{1}{2R} \times (V_1^2 - V_2^2 - V_3^2) $$

결론

3전압계법을 이용하여 부하에서 소비되는 전력을 구하는 공식은 다음과 같다.